Giải bài 97 trang 105 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S.
Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp
b) \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc \(\alpha\)
b) Sử dụng hệ quả góc nội tiếp.
a)
Ta có: \( \widehat{BAC}={{90}^{o}}\) (giả thiết)
\(\widehat{MDC}={{90}^{o}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)
Hay \(\widehat{ADC}={{90}^{o}} \)
Vậy \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}={{90}^{o}}\) nên ABCD là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)
b)
Xét đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (hai góc nội tiếp chắn cung AD)
c)
Trong đường tròn (O) ta có:
\(\widehat{MCS}=\widehat{MDS}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MS)
Trong đường tròn (I) ta có:
\(\widehat{ACB}=\widehat{BDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Do vậy \(\widehat{BCA}=\widehat{SCA} \)
Vậy AC là phân giác của góc BCS.