Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng $\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a) Xét

$ΔADI$ và

$ΔCDL$ có:

$\widehat{A}=\widehat{C}={{90}^{o}}$

$AD=CD$ (hai cạnh hình vuông)

$\widehat{{{ADI}}}=\widehat{{{LDC}}}$ (cùng phụ với

$\widehat{CDI}$ )

Do đó

$ΔADI=ΔCDL$ (g.c.g)

Suy ra

$DI=DL$ .
Vậy

$ΔDIL$ cân (đpcm).
b) Xét

$ΔDLK$ vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức

$\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}$ , ta có:

$\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{L}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}$

Mà

$DL=DI$ (chứng minh trên)
Suy ra

$\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}$
Do DC không đổi nên

$\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}$ không đổi.

Nhận xét:
Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b).
Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}$
Nếu đề bài không cho vẽ $DL⊥DK$ thì ta vẫn phải vẽ đường phụ $DL⊥DK$ để có thể vận dụng hệ thức trên.

Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông khác • Giải bài 1 trang 68 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy tính

$x$ ... • Giải bài 2 trang 68 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy tính

$x$ ... • Giải bài 3 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy... • Giải bài 4 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy... • Giải bài 5 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Trong tam giác vuông với... • Giải bài 6 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Đường cao của một tam... • Giải bài 7 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Người ta đưa ra hai... • Giải bài 8 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Tìm

$x$ ... • Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Cho hình vuông ABCD. Gọi...

Mục lục Hình học 9 theo chương •Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông •Chương 2: Đường tròn •Chương 3: Góc với đường tròn •Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Bài trước Bài sau

Hình học 9

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hình học 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 2: Đường tròn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hình học 9

Hình học 9 Tập 1 Hình học 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ