Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là một tam giác cân;
b) Tổng 1DI2+1DK2 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Lời giải:
a) Xét ΔADI và ΔCDL có:
\widehat{A}=\widehat{C}={{90}^{o}}
AD=CD (hai cạnh hình vuông)
\widehat{{{ADI}}}=\widehat{{{LDC}}} (cùng phụ với \widehat{CDI})
\widehat{A}=\widehat{C}={{90}^{o}}
AD=CD (hai cạnh hình vuông)
\widehat{{{ADI}}}=\widehat{{{LDC}}} (cùng phụ với \widehat{CDI})
Do đó ΔADI=ΔCDL (g.c.g)
Suy ra DI=DL.
Vậy ΔDIL cân (đpcm).
b) Xét ΔDLK vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}, ta có:
\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{L}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Vậy ΔDIL cân (đpcm).
b) Xét ΔDLK vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}, ta có:
\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{L}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Mà DL=DI (chứng minh trên)
Suy ra \dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Do DC không đổi nên \dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}} không đổi.
Suy ra \dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Do DC không đổi nên \dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}} không đổi.
Nhận xét:
Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b).Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}
Nếu đề bài không cho vẽ DL⊥DK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DL⊥DK để có thể vận dụng hệ thức trên.
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông khác
Giải bài 1 trang 68 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy tính x...
Giải bài 2 trang 68 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy tính x...
Giải bài 3 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy...
Giải bài 4 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy...
Giải bài 5 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Trong tam giác vuông với...
Giải bài 6 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Đường cao của một tam...
Giải bài 7 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Người ta đưa ra hai...
Giải bài 8 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Tìm x...
Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Cho hình vuông ABCD. Gọi...
Mục lục Hình học 9 theo chương
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chương 2: Đường tròn
Chương 3: Góc với đường tròn
Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
+ Mở rộng xem đầy đủ