Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng 1DI2+1DK2 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

 

Lời giải:
a) Xét ΔADI và ΔCDL có:
\widehat{A}=\widehat{C}={{90}^{o}}
AD=CD  (hai cạnh hình vuông)
\widehat{{{ADI}}}=\widehat{{{LDC}}}  (cùng phụ với \widehat{CDI})
Do đó ΔADI=ΔCDL (g.c.g)
Suy ra DI=DL.
Vậy ΔDIL cân (đpcm).
b) Xét ΔDLK vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}, ta có:
\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{L}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Mà DL=DI (chứng minh trên)
Suy ra  \dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}
Do DC không đổi nên \dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}} không đổi.
 

Nhận xét:

Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b).
Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}
Nếu đề bài không cho vẽ DL⊥DK  thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DL⊥DK để có thể vận dụng hệ thức trên.
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.