Giải bài 9 trang 70 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a) Xét \(ΔADI\) và \(ΔCDL\) có:
\( \widehat{A}=\widehat{C}={{90}^{o}} \)
\( AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)
\( \widehat{{{ADI}}}=\widehat{{{LDC}}} \) (cùng phụ với \(\widehat{CDI}\))

Do đó \(ΔADI=ΔCDL\) (g.c.g)

Suy ra \(DI=DL\).
Vậy \(ΔDIL\) cân (đpcm).
b) Xét \(ΔDLK\) vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức \(\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\), ta có:
\( \dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{L}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}\)

Mà \(DL=DI\) (chứng minh trên)
Suy ra \( \dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}\)
Do DC không đổi nên \(\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}\) không đổi.

Nhận xét:
Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b).
Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\)
Nếu đề bài không cho vẽ \(DL⊥DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL⊥DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.

Mục lục Hình học 9 theo chương •Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông •Chương 2: Đường tròn •Chương 3: Góc với đường tròn •Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Bài trước Bài sau

Hình học 9

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hình học 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 2: Đường tròn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hình học 9

Hình học 9 Tập 1 Hình học 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ