Giải bài 87 trang 100 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ môt nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.
Gọi nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N.
Vì \(OC=ON=\dfrac a 2; \widehat{C}={{60}^{o}}\) nên tam giác ONC là tam giác đều.
Do đó: \( \widehat{NOC}={{60}^{o}} \)
Diện tích hình quạt NOC là: \({{S}_{qt}}=\dfrac{\pi .O{{C}^{2}}.60}{360}=\dfrac{\pi .{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}.60}{360}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{24} \)
Diện tích tam giác đều NOC là \({{S}_{\Delta NOC}}=\dfrac{O{{C}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16} \)
Diện tích hình viên phân là: \({{S}_{vp}}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{24}-\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}=\dfrac{{{a}^{2}}}{48}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right) \)
Hình viên phân BmM được tạo bởi cung BmM và tam giác đều BMO.
Hình viên phân CnN được tạo bởi cung CnN và tam giác đều ONC.
Vì \(\Delta ONC=\Delta OMB\) (hai tam giác đều có cùng độ dài cạnh) và \(\overset\frown{BmM}=\overset\frown{CnN}\) nên hai hình viên phân bằng nhau.
Vậy diện tích hai hình viên phân là \(2.\dfrac{{{a}^{2}}}{48}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right)=\dfrac{{{a}^{2}}}{24}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right) \) (đvdt)
Ghi nhớ:
- Tam giác đều cạnh a, có độ dài đường cao là \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\) và diện tích là \(\dfrac{a^2\sqrt 3}{4}\)