Giải bài 7 trang 69 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân \(x\) của hai đoạn thẳng a, b (tức là \(x^2=ab\)) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Lời giải:

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình sau.

Xét \(ΔABC\) có:
\(OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=R\)

Mà AO là trung tuyến ứng với cạnh BC của \(ΔABC\).

Suy ra \(ΔABC\) vuông tại A ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)
Xét \(ΔABC\) vuông tại A, đường cao AH.
Áp dụng hệ thức lượng, ta có:

\( AH^2=BH.CH⇔x^2=a.b\\ \Leftrightarrow x=\sqrt{ab}\)
Vậy \(x\) là trung bình nhân của a và b

Cách vẽ:

Bước 1: Vẽ \(BH=a, CH=b\). Xác định trung điểm O của đoạn AB.

Bước 2: Vẽ nửa đường tròn tâm O bán kính OB.
Bước 3: Kẻ thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại A.
Bước 4: Nối A và H ta được \(AH=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a, b.

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình sau:

Xét \(ΔABC\) có:
\(OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=R\)
Mà AO là trung tuyến ứng với cạnh BC của \(ΔABC\).
Suy ra \(ΔABC\) vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)
Xét \(ΔABC\) vuông tại A, đường cao AH.

Áp dụng hệ thức lượng, ta có:
\( AB^2=BC.BH⇔x^2=a.b\Leftrightarrow x=\sqrt{ab}\)
Vậy x là trung bình nhân của a và b.
Cách vẽ:

Bước 1: Vẽ \(BH=a, CH=b\). Xác định trung điểm O của đoạn BC.

Bước 2: Vẽ nửa đường tròn tâm O bán kính OB.

Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua điểm H. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại A.

Bước 4: Nối B và A ta được \(AB=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a, b.

Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.

Mục lục Hình học 9 theo chương •Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông •Chương 2: Đường tròn •Chương 3: Góc với đường tròn •Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Bài trước Bài sau

Hình học 9

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hình học 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 2: Đường tròn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hình học 9

Hình học 9 Tập 1 Hình học 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ