Giải bài 7 trang 134 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc \(DOE = 60^o\).

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh \(ΔBOD ∼ ΔOED\). Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải:

Hướng dẫn:
a) Chứng minh BD.CE=OB.OC
b) Chứng minh khoảng cách từ tâm đến AB bằng khoảng cách từ O đến DE

a) Trong \(\Delta OEC\) có: \(\widehat{OEC}+\widehat{EOC}+\widehat{ECO}={{180}^{o}}\) (định lí tổng ba góc của tam giác)

Mà \(\widehat{ECO}=\widehat{DOE}={{60}^{o}}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \widehat{OEC}+\widehat{EOC}+\widehat{DOE}={{180}^{o}}\)

Lại có: \(\widehat{DOB}+\widehat{EOC}+\widehat{DOE}={{180}^{o}}\)

\(\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{DOB}\)

Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta CEO\) có:

\(\begin{aligned} & \widehat{OBD}=\widehat{ECO}={{60}^{o}}\\ \\ & \widehat{OEC}=\widehat{DOB} \\ \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \Delta BOD\sim \Delta CEO (g.g)\)

\(\Rightarrow \dfrac{OB}{EC}=\dfrac{BD}{OC}\) (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow BD.EC=OB.OC\)

Mà OB.OC không đổi nên BD.EC không đổi.

b) Ta có \(\Delta BOD\sim \Delta CEO\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \dfrac{BD}{OC}=\dfrac{OD}{OE} \Rightarrow \dfrac{BD}{OD}=\dfrac{OB}{OE} \)

Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta OED\) có:

\(\begin{aligned} & \dfrac{BD}{OD}=\dfrac{OB}{OE} \\\\ & \widehat{DOB}=\widehat{DOE}=6{{0}^{o}} \\\\ & \Rightarrow \Delta BOD\sim \Delta OED\,\left( c.g.c \right) \\ \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \widehat{IDO}=\widehat{KDO}\) (hai góc tương ứng)

c) Kẻ \(OK\bot DE\), gọi I là tiếp điểm của (O) với AB.

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OID\) và \(\Delta OKD\) có:

OD chung

\(\widehat{IDO}=\widehat{KDO}\,\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \Delta OID=\Delta OKD\) (cạnh huyền và góc nhọn)

\(\Rightarrow OI=OK\) (hai cạnh tương ứng)

Vậy đường tròn (O) luôn tiếp xúc với DE.

Mục lục Hình học 9 theo chương •Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông •Chương 2: Đường tròn •Chương 3: Góc với đường tròn •Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Bài trước Bài sau

Hình học 9

B. Phần hình học

Hình học 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 2: Đường tròn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hình học 9

Hình học 9 Tập 1 Hình học 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ