Giải bài 51 trang 87 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn:

Chứng minh B, C, H, I, O cùng thuộc một cung chứa góc (cùng nhìn BC dưới một góc không đổi).

Ta có:

$\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{120}^{o}}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) (1)

Xét tứ giác $AB’HC’$ có:

$\begin{aligned} & \widehat{A}+\widehat{B'}+\widehat{B'HC'}+\widehat{C'}={{360}^{o}} \\ & \Leftrightarrow {{60}^{o}}+{{90}^{o}}+\widehat{B'HC'}+{{90}^{o}}={{360}^{o}} \\ & \Rightarrow \widehat{B'HC'}={{120}^{o}} \\ \end{aligned}$

Mà $\widehat{BHC}=\widehat{B'HC'}$ nên $\widehat{BHC}={{120}^{o}}$ (2)

Trong tam giác ABC có: $\widehat{B}+\widehat{C}=180-\widehat{A}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}}$

Vì IB và IC là hai tia phân giác của góc B và góc C nên

 $\begin{aligned} & \widehat{IBC}=\dfrac{1}{2}\widehat{B} \\ & \widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\widehat{C} \\ & \Rightarrow \widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)=\dfrac{1}{2}{{.120}^{o}}={{60}^{o}} \\ \end{aligned}$

Trong tam giác IBC  có 

$\widehat{BIC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{IBC}+\widehat{ICB} \right)={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} (3)$

Từ (1) (2) và (3) ta có: I, O , H cùng nhìn BC dưới một góc $120^o$ nên O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc $120^o$ dựng trên đoạn BC.

Vậy 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.