Giải bài 50 trang 87 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho \(MI = 2MB\).

a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Lời giải:

Gợi ý:
Sử dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông để tính số đo \(\widehat{AIB}\)

a) Xét đường tròn (O) có \(\widehat{AMB} \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên:

\(\widehat{AMB}={{90}^{o}}\)

Xét tam giác \(MBI \) vuông tại M.

\(\begin{aligned} & \tan \widehat{MIB}=\dfrac{MB}{MI}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \widehat{MIB}\approx {{26}^{o}}{{34}^{'}} \\ \end{aligned} \)

Vậy \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm quỹ tích của điểm I.

* Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì I luôn nhìn AB dưới một góc \(26^o34’\)

Do vậy quỹ tích điểm I là hai cung chứa góc \(26^o34’\) dựng trên đoạn thẳng AB.

Tuy nhiên, khi M trùng A thì cát tuyến AM thành tiếp tuyến của (O). Khi đó, điểm I trùng \(I_1\) hoặc \(I_2.\)

Vậy quỹ tích điểm I chỉ thuộc hai cung \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) hoặc \(\overset\frown{{{I}_{2}}m'B} \)

Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) hoặc \( \overset\frown{{{I}_{2}}m'B}\)

\(I’A\) cắt đường tròn O tại M’.

Trong tam giác vuông \(BM’I’\) ta có:

\(\tan \widehat{BI'M'}=\dfrac{BM'}{M'I}=\tan \left( {{26}^{o}}34' \right)=\dfrac{1}{2} \)

Do đó \(M'I'=2BM' \)

Kết luận: quỹ tích điểm I là hai cung \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) và \(\overset\frown{{{I}_{2}}m'B}\) chứa góc \(26^o34’\) dựng trên đoạn thẳng AB.

Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.

Mục lục Hình học 9 theo chương •Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông •Chương 2: Đường tròn •Chương 3: Góc với đường tròn •Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Bài trước Bài sau

Hình học 9

Bài 6: Cung chứa góc

Hình học 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 2: Đường tròn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hình học 9

Hình học 9 Tập 1 Hình học 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ