Giải bài 5 trang 132 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
\(\left( \dfrac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right).\dfrac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
Điều kiện: \(x>0 \) và \(x\ne 1\).
\(\begin{aligned} & \left( \dfrac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right).\dfrac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} \\ & =\left[ \dfrac{2+\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)} \right].\dfrac{x\left( \sqrt{x}+1 \right)-\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}} \\ & =\dfrac{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)-\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( x-1 \right)}.\dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}} \\ & =\dfrac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} \\ & =\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2 \\ \end{aligned}\)
Vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\).