Giải bài 44 trang 86 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Gợi ý:

Tính $\widehat{BIC}$. Chứng minh I luôn nhìn BC dưới một góc không đổi.

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\widehat{BAC}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{o}}$

Có IB và IC lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên 

$\begin{aligned} & \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.\widehat{B}; \\ & \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.\widehat{C} \\ & \Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)=\dfrac{1}{2}{{.90}^{o}}={{45}^{o}} \\ \end{aligned}$

Trong tam giác IBC có:

$\begin{aligned} & \widehat{IBC}+\widehat{BIC}+\widehat{BCI}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow \widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{BIC}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow {{45}^{o}}+\widehat{BIC}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow \widehat{BIC}={{135}^{o}} \\ \end{aligned}$

Như vậy, điểm I nhìn đoạn BC cố định góc $135^o$ không đổi.

Vậy quỹ tích của I là cung chứa góc $135^o$ dựng trên đoạn thẳng BC.