Giải bài 44 trang 86 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Gợi ý:
Tính \(\widehat{BIC} \). Chứng minh I luôn nhìn BC dưới một góc không đổi.
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:
\(\widehat{BAC}={{90}^{o}} \)
\(\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{o}} \)
Có IB và IC lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên
\(\begin{aligned} & \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.\widehat{B}; \\ & \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.\widehat{C} \\ & \Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)=\dfrac{1}{2}{{.90}^{o}}={{45}^{o}} \\ \end{aligned}\)
Trong tam giác IBC có:
\(\begin{aligned} & \widehat{IBC}+\widehat{BIC}+\widehat{BCI}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow \widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{BIC}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow {{45}^{o}}+\widehat{BIC}={{180}^{o}} \\ & \Leftrightarrow \widehat{BIC}={{135}^{o}} \\ \end{aligned} \)
Như vậy, điểm I nhìn đoạn BC cố định góc \(135^o\) không đổi.
Vậy quỹ tích của I là cung chứa góc \(135^o\) dựng trên đoạn thẳng BC.