Giải bài 42 trang 83 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.
a) Chứng minh \(AP\bot QP\)
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
Lời giải:
Hướng dẫn:Sử dụng định lý về góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.a) Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau
a)
Vì P, Q, R lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, AC, AB nên ta có:
\(\overset\frown{AR}=\overset\frown{RB};\overset\frown{AQ}=\overset\frown{QC};\overset\frown{BP}=\overset\frown{PC} \)
Gọi K là giao điểm của AP và QR.
Ta có:
\(\widehat{AKR}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\widehat{PCQ} \right)\\=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\overset\frown{PC}+\text{sđ}\overset\frown{QC} \right)\\ \widehat{AKQ}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RBP} \right)\\=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RB}+\text{sđ}\overset\frown{BP} \right) \)
\(\widehat{AKR}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\widehat{PCQ} \right)\\=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\overset\frown{PC}+\text{sđ}\overset\frown{QC} \right)\\ \widehat{AKQ}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RBP} \right)\\=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RB}+\text{sđ}\overset\frown{BP} \right) \)
Mà \( \overset\frown{AR}=\overset\frown{RB};\overset\frown{AQ}=\overset\frown{QC};\overset\frown{BP}=\overset\frown{PC}\)
Nên ta có:
\( \begin{aligned} \widehat{AKQ}&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RBP} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RB}+\text{sđ}\overset\frown{BP} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{QC}+\text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}PC \right) \\ & =\widehat{AKR} \\ \end{aligned}\)
\( \begin{aligned} \widehat{AKQ}&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RBP} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AQ}+\text{sđ}\overset\frown{RB}+\text{sđ}\overset\frown{BP} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{QC}+\text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}PC \right) \\ & =\widehat{AKR} \\ \end{aligned}\)
Lại có
\(\begin{aligned} & \widehat{AKR}+\widehat{AKQ}={{180}^{o}} \\ & \Rightarrow 2\widehat{AKR}={{180}^{o}} \\ & \Rightarrow \widehat{AKR}={{90}^{o}} \\ & \Rightarrow AP\bot RQ \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & \widehat{AKR}+\widehat{AKQ}={{180}^{o}} \\ & \Rightarrow 2\widehat{AKR}={{180}^{o}} \\ & \Rightarrow \widehat{AKR}={{90}^{o}} \\ & \Rightarrow AP\bot RQ \\ \end{aligned} \)
b)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \widehat{PIC}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\overset\frown{PC} \right) \\ & \widehat{PCI}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{RBP} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{RB}+\text{sđ}\overset\frown{BP} \right)\\&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AR}+\text{sđ}\overset\frown{BC} \right)=\widehat{PIC} \\ \end{aligned} \)
Vậy CPI cân tại P.
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có ngoài ở bên trong đường tròn khác
Giải bài 36 trang 82 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho đường tròn (O) và...
Giải bài 37 trang 82 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho đường tròn (O) và...
Giải bài 38 trang 82 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Trên một đường tròn,...
Giải bài 39 trang 82 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho AB và CD là hai...
Giải bài 40 trang 83 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Qua điểm S nằm bên...
Giải bài 41 trang 83 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Qua điểm A nằm bên...
Giải bài 42 trang 83 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho tam giác ABC nội...
Giải bài 43 trang 83 – SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho đường tròn (O) và...
Mục lục Hình học 9 theo chương
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chương 2: Đường tròn
Chương 3: Góc với đường tròn
Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
+ Mở rộng xem đầy đủ