Giải bài 42 trang 128 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Phương pháp chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Chứng minh vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm.

a) Ta có: \(\left\{ \begin{align} & MA=MB \\ & \widehat{BMO}=\widehat{AMO} \\ \end{align} \right.\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra ΔAMB cân tại M và MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO ⊥ AB\) hay \(\widehat{MEA}={{90}^{o}}\) (1)

Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và \(\widehat{MFA}={{90}^{o}}\) (2)

Lại có: \(\widehat{BMC}=\widehat{BMA}+\widehat{CMA}={{180}^{o}}\) (hai góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat{OMO'}=\widehat{OMA}+\widehat{O'MA}=\dfrac{\widehat{BMC}}{2}={{90}^{o}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật 

b) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông \(ΔMAO\),  ta có

\( ME.MO = MA^2 \)

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông \(ΔMAO’\), ta có

\(MF.MO' = MA^2 \)

Suy ra \(ME.MO = MF.MO'\)

c) Ta có \(MA=MB=MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Mà \(OO'\bot MA\)

Suy ra OO’ là tiếp tuyến của \((M;MB)\)

d) Gọi I là trung điểm của OO'

Suy ra \(IM=IO=IO’\) (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)

Suy ra I là tâm của đường tròn có đường kính 

Ta có IM là đường trung bình của hình thang OBCO' 

Suy ra \(IM // OB // O'C.\)

Do đó \(IM ⊥ BC\).

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn \((I)\).