Giải bài 42 trang 128 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Phương pháp chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Chứng minh vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm.

a) Ta có: $\left\{ \begin{align} & MA=MB \\ & \widehat{BMO}=\widehat{AMO} \\ \end{align} \right.$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra ΔAMB cân tại M và MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MO ⊥ AB$ hay $\widehat{MEA}={{90}^{o}}$ (1)

Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và $\widehat{MFA}={{90}^{o}}$ (2)

Lại có: $\widehat{BMC}=\widehat{BMA}+\widehat{CMA}={{180}^{o}}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{OMO'}=\widehat{OMA}+\widehat{O'MA}=\dfrac{\widehat{BMC}}{2}={{90}^{o}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật 

b) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông $ΔMAO$,  ta có

$ME.MO = MA^2$

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông $ΔMAO’$, ta có

$MF.MO' = MA^2$

Suy ra $ME.MO = MF.MO'$

c) Ta có $MA=MB=MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Mà $OO'\bot MA$

Suy ra OO’ là tiếp tuyến của $(M;MB)$

d) Gọi I là trung điểm của OO'

Suy ra $IM=IO=IO’$ (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)

Suy ra I là tâm của đường tròn có đường kính 

Ta có IM là đường trung bình của hình thang OBCO' 

Suy ra $IM // OB // O'C.$

Do đó $IM ⊥ BC$.

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.