Giải bài 41 trang 129 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA=a,OB=b (a,b cùng đơn vị: cm).
 
Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình 116).
Hình 116.
a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi.
 
b) Tính diện tích hình thang ABDC khi ^COA=60o
 
c) Với ^COA=60o cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành.
Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AOC và BDO có:

^COA=^BDO (cùng phụ với ^BOD )

Suy ra ΔAOCΔBDO(g.g)

Ta có:

AOBD=ACBO (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra: AC.BD=a.b (không đổi)

b) 

Diện tích hình thang ABDC là: S=AC+BD2.AB

Vì tam giác AOC vuông tại A có ^AOC=60o nên:

AC=AO.tan^AOC=a3

^AOC=60o^DOB=30o 

Xét tam giác BOD vuông tại B có BD=BO.tan^BOD=3b3

Vậy diện tích hình thang ABCD là: (a3+b33).(a+b).12(cm2)
c)

Khi qua các tam giác AOC và BOD quanh AB ta được hai hình nón.

Thể tích hình nón có chiều cao AO là: V1=13πAC2.AO=13.π.(a3)2.a=a3π(cm3)

Thể tích hình nón có chiều cao OB là: V2=13.π.BD2.OB=13.π.(b33)2.b=19πb3(cm3)

Vậy tỉ số thể tích các hình là: V1V2=πa319πb3=9a3b3

Ghi nhớ: 

- Khi quay tam giác vuông xung quanh một cạnh góc vuông ta thu được một hình nón có đường cao bằng cạnh góc vuông đó và bán kính đáy bằng độ dài cạnh góc vuông còn lại.

- Thể tích của hình nón có bán kính đáy r, đường cao h là 13πr2h