Giải bài 41 trang 129 – SGK Toán lớp 9 tập 2

a) Xét hai tam giác vuông \(AOC\) và \(BDO\) có:

\(\widehat{COA}=\widehat{BDO}\) (cùng phụ với \(\widehat{BOD}\) )

Suy ra \(\Delta AOC\backsim \Delta BDO (g.g)\)

Ta có:

\(\dfrac{AO}{BD}=\dfrac{AC}{BO}\) (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra: \(AC.BD=a.b\) (không đổi)

b) 

Diện tích hình thang ABDC là: \(S=\dfrac{AC+BD}{2}.AB\)

Vì tam giác AOC vuông tại A có \(\widehat{AOC}={{60}^{o}}\) nên:

\(AC=AO.\tan \widehat{AOC}=a\sqrt{3} \)

Vì \(\widehat{AOC}={{60}^{o}}\Rightarrow \widehat{DOB}={{30}^{o}}\) 

Xét tam giác BOD vuông tại B có \(BD=BO.\tan \widehat{BOD}=\dfrac{\sqrt{3}b}{3} \)

Vậy diện tích hình thang ABCD là: \( \left( a\sqrt{3}+\dfrac{b\sqrt{3}}{3} \right).\left( a+b \right).\dfrac{1}{2}\,(cm^2) \)
c)

Khi qua các tam giác AOC và BOD quanh AB ta được hai hình nón.

Thể tích hình nón có chiều cao AO là: \({{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi A{{C}^{2}}.AO=\dfrac{1}{3}.\pi .{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.a={{a}^{3}}\pi \,(cm^3) \)

Thể tích hình nón có chiều cao OB là: \({{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.\pi .B{{D}^{2}}.OB=\dfrac{1}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{b\sqrt{3}}{3}\right)}^{2}}.b=\dfrac{1}{9}\pi {{b}^{3}} \,(cm^3) \)

Vậy tỉ số thể tích các hình là: \( \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{\dfrac{1}{9}\pi {{b}^{3}}}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}} \)

Ghi nhớ: 

- Khi quay tam giác vuông xung quanh một cạnh góc vuông ta thu được một hình nón có đường cao bằng cạnh góc vuông đó và bán kính đáy bằng độ dài cạnh góc vuông còn lại.

- Thể tích của hình nón có bán kính đáy r, đường cao h là \(\dfrac 1 3 \pi r^2 h\)