Giải bài 38 trang 82 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho \(sđ\overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{CD}=sđ\overset\frown{DB}=60^o\). Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat{AEB}=\widehat{BTC}\)
b) CD là tia phân giác của \(\widehat{BCT}\)
a)
Xét đường tròn (O) có AB là đường kính nên \(\text{sđ}\overset\frown{AB}={{180}^{o}}\)
Ta có \( \widehat{AEB}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:
\(\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{CD} \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{180}^{o}}-{{60}^{o}} \right)={{60}^{o}} \)
\(\widehat{BTC} \) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:
\( \begin{aligned} \widehat{BTC}&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{CAB}-\text{sđ}\overset\frown{CDB} \right)\\&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}+\text{sđ}\overset\frown{AC}-\text{sđ}\overset\frown{DC}-\text{sđ}\overset\frown{DB} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( {{180}^{o}}+{{60}^{o}}-{{60}^{o}}-{{60}^{o}} \right)={{60}^{o}} \\ \end{aligned} \)
Vậy \(\widehat{AEB}=\widehat{BTC} \)
b)
Ta có:
\(\widehat{DCT} \) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung DC nên:
\(\widehat{DCT}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{CD}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{o}} \)
\(\widehat{DCB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB nên
\(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{DB}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{o}} \)
Suy ra \(\widehat{DCT}=\widehat{DCB} \)
Vậy CD là phân giác của góc \( \widehat{BCT} \)