Giải bài 37 trang 126 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Gợi ý:

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

a)

Trong đường tròn (O) ta có:

+)  $\widehat{APB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) $\widehat{POM}=\widehat{AOM}; \widehat{PON}=\widehat{BON}$ (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra  $\widehat{POM}+\widehat{PON}=90^o$ hay MON vuông tại O.

$\widehat{PMO}=\widehat{AMO}$ (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

$\widehat{AMO}=\widehat{PAO}$ (cùng phụ với $\widehat{MOA}$)

Suy ra: $\widehat{PMO}=\widehat{PAB}$

Xét hai tam giác vuông  MON và APB có:

+) $\widehat{PMO}=\widehat{PAB}$

Vậy $\Delta MON \backsim \Delta APB$ (g.g)

b) 

Áp dụng tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$MA=MP;PN=PB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MON có: 

$MP.PN=OP^2\Rightarrow AM.NB=OP^2=R^2$

c)

Vì $\Delta MON \backsim \Delta APB$ nên ta có:

$\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}$

Khi $AM=\dfrac R 2$ và $AM.BN=R^2\Rightarrow BN=\dfrac{R^2}{AM}=\dfrac{R^2}{\dfrac R 2}=2R$

Do đó, $MN=MP+PN=AM+BN=\dfrac R 2 +2R =\dfrac {5R} 2$

Suy ra $MN^2=\dfrac {25R^2}{4}$

Vậy $\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}=\dfrac{25R^2}{4}:4R^2=\dfrac{25}{16}$

d)

Vì nửa đường tròn APB quay quanh AB tạo thành hình cầu bán kính R nên thể tích hình cầu là

$V=\dfrac 4 3 \pi R^3$