Giải bài 37 trang 126 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Gợi ý:

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

a)

Trong đường tròn (O) ta có:

+)  \(\widehat{APB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) \(\widehat{POM}=\widehat{AOM}; \widehat{PON}=\widehat{BON}\) (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra  \(\widehat{POM}+\widehat{PON}=90^o\) hay MON vuông tại O.

\(\widehat{PMO}=\widehat{AMO}\) (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

\(\widehat{AMO}=\widehat{PAO}\) (cùng phụ với \(\widehat{MOA}\))

Suy ra: \(\widehat{PMO}=\widehat{PAB}\)

Xét hai tam giác vuông  MON và APB có:

+) \(\widehat{PMO}=\widehat{PAB}\)

Vậy \(\Delta MON \backsim \Delta APB\) (g.g)

b) 

Áp dụng tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(MA=MP;PN=PB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MON có: 

\(MP.PN=OP^2\Rightarrow AM.NB=OP^2=R^2\)

c)

Vì \(\Delta MON \backsim \Delta APB\) nên ta có:

\(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}\)

Khi \(AM=\dfrac R 2\) và \(AM.BN=R^2\Rightarrow BN=\dfrac{R^2}{AM}=\dfrac{R^2}{\dfrac R 2}=2R\)

Do đó, \(MN=MP+PN=AM+BN=\dfrac R 2 +2R =\dfrac {5R} 2\)

Suy ra \(MN^2=\dfrac {25R^2}{4}\)

Vậy \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}=\dfrac{25R^2}{4}:4R^2=\dfrac{25}{16}\)

d)

Vì nửa đường tròn APB quay quanh AB tạo thành hình cầu bán kính R nên thể tích hình cầu là

\(V=\dfrac 4 3 \pi R^3\)