Giải bài 30 trang 116 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt  Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat{COD}={{90}^{o}}\)

b) \(CD = AC + BD\)

c) Tích \(AC.BD\) không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

 

Ta có: \(\left\{ \begin{aligned} & \widehat{AOC}=\widehat{MOC} \\ & \widehat{BOD}=\widehat{MOD} \\ \end{aligned} \right.\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

Mà \(\widehat{AOB}=\widehat{AOM}+\widehat{BOM}={{180}^{o}}\) (hai góc kề bù)

 

\(\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}={{90}^{o}}\)

 

b) Ta có: \(\left\{ \begin{aligned} & AC=CM \\ & BD=DM \\ \end{aligned} \right.\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

Suy ra \(CD=CM+DM=AC+BD\)

 

c) Ta có \(OM\bot CD\) (tính chất tiếp tuyến)

 

Xét tam giác vuông COD, đường cao OM, ta có:

 

\(MC.MD=OM^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 

Suy ra \(AC.BD=OM^2\)

 

Mà OM không đổi nên tích \(AC.BD\) không đổi.

 

Ghi nhớ: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.
 

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.