Giải bài 26 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Hướng dẫn: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
$-$ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
$-$ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
$-$ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

a) Ta có: $AB = AC$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $ΔABC$ cân tại A.

Lại có $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $AO ⊥ BC$. 

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. 

Suy ra $BI = IC$ (định lí đường kính và dây cung).

Xét $ΔCBD$ có :

$CI = IB$

$CO = OD$ (cùng bằng bán kính)

$\Rightarrow BD // IO$ (IO là đường trung bình của $\Delta BCD$) 

$\Rightarrow BD // AO.$

c) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAC:

$\begin{align} & O{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}+O{{B}^{2}} \\ & \Rightarrow AB=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}}\text{=}\sqrt{{{4}^{2}}-{{2}^{2}}}\text{ =2}\sqrt{3}\text{ }\left( cm \right) \\ \end{align}$

Trong tam giác vuông OAB có

$\begin{aligned} & \sin \widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \widehat{OAB}={{30}^{o}}\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{OAB}={{2.30}^{o}}={{60}^{o}} \\ \end{aligned}$

Tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}={{60}^{o}}$ nên là tam giác đều.

Do đó $AB = BC = AC = 2\sqrt3 (cm)$.