Giải bài 26 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Hướng dẫn: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
\(-\) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
\(-\) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
\(-\) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

a) Ta có: \(AB = AC\) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \(ΔABC\) cân tại A.

Lại có \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO} \) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \(AO ⊥ BC\). 

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. 

Suy ra \(BI = IC\) (định lí đường kính và dây cung).

Xét \(ΔCBD\) có :

\(CI = IB\)

\(CO = OD\) (cùng bằng bán kính)

\( \Rightarrow BD // IO\) (IO là đường trung bình của \(\Delta BCD\)) 

\(\Rightarrow BD // AO.\)

c) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAC:

\(\begin{align} & O{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}+O{{B}^{2}} \\ & \Rightarrow AB=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}}\text{=}\sqrt{{{4}^{2}}-{{2}^{2}}}\text{ =2}\sqrt{3}\text{ }\left( cm \right) \\ \end{align}\)

Trong tam giác vuông OAB có

\(\begin{aligned} & \sin \widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \widehat{OAB}={{30}^{o}}\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{OAB}={{2.30}^{o}}={{60}^{o}} \\ \end{aligned}\)

Tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A}={{60}^{o}}\) nên là tam giác đều.

Do đó \(AB = BC = AC = 2\sqrt3 (cm)\).