Giải bài 23 trang 76 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh \(MA.MB = MC.MD.\)
Hướng dẫn:
Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
TH1: M nằm bên trong đường tròn.
Trong đường tròn (O), ta có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Xét hai tam giác AMD và CMB có:
+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)
+) \(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)
Có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\Rightarrow MA.MB=MD.MC\) (cặp cạnh tương ứng)
TH2: M nằm bên ngoài đường tròn
Tương tự, ta có:
Trong đường tròn (O), \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét hai tam giác AMD và CMB có:
+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)
+) \(\widehat{M}\) chung.
Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)
Có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\Rightarrow MA.MB=MD.MC\) (cặp cạnh tương ứng)