Giải bài 14 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \(α\) tùy ý, ta có:
a) \(\operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha };\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\operatorname{tg}\,\alpha .\operatorname{cotg}\alpha =1\);                                   b) \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\)
Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Xét \(ΔABC\) vuông tại A, có \(\widehat{ABC}=\alpha \)

a)  \(ΔABC\) vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(\begin{align} & \sin \alpha =\dfrac{AC}{BC};\cos \alpha =\dfrac{AB}{BC} \\ & \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{AC}{AB};\cot g\,\alpha =\dfrac{AB}{AC} \\ \end{align}\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), ta có:
\(VP=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\operatorname{tg} \alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\), ta có: 
\(VP=\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{AB}{BC}:\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}=\operatorname{cotg}\alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =1\), ta có:
\(VT=\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{AC}{AB}.\dfrac{AB}{AC}=1=VP\)
b) Chứng minh \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\).
Vì \(ΔABC\) vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:
                            \( BC^2=AC^2+AB^2\)
Ta có 
\( \begin{align} VT&={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \dfrac{AC}{BC} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{BC} \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =\dfrac{B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =1=VP \\ \end{align}\)
 

Lưu ý:

Chúng ta cần ghi nhớ các hệ thức \(\operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha };\operatorname{cotg}\,\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\operatorname{cotg}\alpha .\operatorname{tg}\alpha =1\) và \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\) để giải một số bài tập khác.