Giải bài 14 trang 72 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: "Mỗi điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút"

a) 

Gọi M là điểm chính giữa cung AB và MN là đường kính.

Ta có: \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}\Rightarrow MA=MB\)

Ta lại có \(OA = OB = R\) nên OM là trung trực của AB.

Suy ra MO đi qua trung điểm của AB (đpcm)

* Mệnh đề đảo: "Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó."

Giả sử đường kính MN đi qua trung điểm H của dây AB. 

Ta có: Tam giác OAB cân tại O có \(HA = HB\) nên OH cũng là phân giác của góc AOB.

Suy ra \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}\).

Điều này chỉ đúng khi OAB là tam giác hay dây AB không đi qua O.

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

"Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó"

b)

* Chứng minh: "Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy"

Giả sử đường kính MN đi qua M là điểm chính giữa cung AB.

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{BM}\Rightarrow AM=BM\)

Lại có \(OA = OB\) nên:

OM là trung trực của AB hay OM vuông góc với AB.

* Chứng minh "Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy"

Giả sử đường kính MN vuông góc với dây AB tại H.

Xét tam giác OAB có \(OA = OB\) nên OAB cân tại O.

OM vuông góc với AB tại H nên OM đồng thời là đường phân giác của góc AOB.

Hay \(\widehat {AOM}=\widehat{BOM}\Rightarrow \overset\frown{AM}=\overset\frown{BM}\)

Vậy M là điểm chính giữa cung AB.