Giải bài 12 trang 106 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính \(5cm\), dây AB bằng \(8cm\).
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi \(I\) là điểm thuộc dây AB sao cho \(AI = 1cm\). Kẻ dây CD đi qua \(I\) và vuông góc với AB. Chứng minh rằng \(CD = AB\).
Hướng dẫn: Định lí đường kính và dây cung
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
a) Kẻ OE vuông góc với AB tại E.
\(\Rightarrow AE=EB=\dfrac{AB}{2}=4\,\left( cm \right)\) (định lí đường kính và dây cung)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBE có:
\(\begin{aligned} & O{{B}^{2}}=O{{E}^{2}}+E{{B}^{2}} \\ & \Rightarrow OE=\sqrt{O{{B}^{2}}-E{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3\,\left( cm \right) \\ \end{aligned}\)
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là \(OE= 3cm\).
b) Kẻ OF vuông góc với CD tại F.
Tứ giác OEIF có: \(\widehat{E}=\widehat{I}=\widehat{F}={{90}^{o}}\) nên là hình chữ nhật
Ta có \(IE = AE - AI = 4 - 1 = 3cm \)
\(\Rightarrow OF = IE = 3cm\) (tính chất hình chữ nhật)
Mà \(OE =3cm\) (chứng minh trên)
Suy ra \(OE=OF \Rightarrow CD = AB\) (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau).