Giải bài 11 trang 72 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O') .
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: \(\overset\frown{BC}=\overset\frown{BD}\))
Gợi ý:
Sử dụng định lí 1:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
a)
Xét đường tròn (O) có: \(OB=OA=OC=R\Rightarrow OB=\dfrac 1 2 OC\)
Suy ra ABC là tam giác vuông tại B (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Tương tự, ta cũng có: tam giác ABD vuông tại B.
Xét hai tam giác ABC vuông tại B và tam giác ABD vuông tại B có:
+) AB chung.
+) AC = AD (đường kính của hai đường tròn bằng nhau)
Suy ra: \(\Delta ABC=\Delta ABD\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow BC=BD\) (cặp cạnh tương ứng)
Vậy \(\overset\frown{BC}=\overset\frown{BD}\)
b) Để chứng minh B là điểm chính giữa cung EBD ta chứng minh \(\overset\frown{BE}=\overset\frown{BD}\)
Xét tam giác ADE có: \(O'A=O'D=O'E\Rightarrow O'E=\dfrac 1 2 AD\)
Nên ADE là tam giác vuông tại E.
Trong tam giác vuông CED có B là trung điểm DC (DB = BC).
Nên EB là đường trung tuyến.
Suy ra EB = BD = BC.
Vậy trong đường tròn (O') có EB = DB nên \(\overset\frown{BE}=\overset\frown{BD}\) hay B là điểm chính giữa cung EBD.