Giải bài 10 trang 133 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{ \begin{aligned} & 2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\); b) \(\left\{ \begin{aligned} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2y=2 \\ & 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3y=1 \\ \end{aligned} \right.\)
Hướng dẫn:
Cách 1: Giải trực tiếp
Coi \(\sqrt {x-1}\) là một ẩn và \(\sqrt {y-1}\) là một ẩn (\((x-1)^2\) là một ẩn và y là một ẩn) rồi giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Trong bài toán này câu a sử dụng cách giải trực tiếp và câu b áp dụng cách giải đặt ẩn phụ
a) \(\left\{ \begin{aligned} & 2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\)
Điều kiện \(x ≥ 1; y ≥ 1\).
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3\sqrt{x-1}=3 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x-1}=1 \\ & 1+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x-1}=1 \\ & \sqrt{y-1}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & y-1=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=2 \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm \((x;y)=(2;2).\)
b) \(\left\{ \begin{aligned} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2y=2 \\ & 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3y=1 \\ \end{aligned} \right.\)
Đặt \((x-1)^2=u\ge 0\), hệ phương trình trở thành
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & u-2y=2 \\ & 3u+3y=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3u-6y=6 \\ & 3u+3y=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 9y=-5 \\ & u-2y=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=-\dfrac{5}{9} \\ & u=\dfrac{8}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}=\dfrac{8}{9} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-1=\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left( x;y \right)\in \left\{ \left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3};-\dfrac{5}{9} \right),\left( -\dfrac{2\sqrt{2}}{3};-\dfrac{5}{9} \right) \right\}\)
Chú ý: ở bài toán trên chỉ có \((x-1)^2\) cần thay bởi ẩn u, còn ẩn y có thể thay bởi \(y=v\) hoặc không (giữ nguyên là y).