Giải bài 10 trang 133 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn:

Cách 1: Giải trực tiếp

Coi $\sqrt {x-1}$ là một ẩn và $\sqrt {y-1}$ là một ẩn ($(x-1)^2$ là một ẩn và y là một ẩn)  rồi giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Trong bài toán này câu a sử dụng cách giải trực tiếp và câu b áp dụng cách giải đặt ẩn phụ

 
a) $\left\{ \begin{aligned} & 2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.$

Điều kiện $x ≥ 1; y ≥ 1$.

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3\sqrt{x-1}=3 \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x-1}=1 \\ & 1+\sqrt{y-1}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x-1}=1 \\ & \sqrt{y-1}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & y-1=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=2 \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x;y)=(2;2).$

b) $\left\{ \begin{aligned} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2y=2 \\ & 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3y=1 \\ \end{aligned} \right.$

Đặt $(x-1)^2=u\ge 0$, hệ phương trình trở thành

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & u-2y=2 \\ & 3u+3y=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3u-6y=6 \\ & 3u+3y=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 9y=-5 \\ & u-2y=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=-\dfrac{5}{9} \\ & u=\dfrac{8}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}=\dfrac{8}{9} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-1=\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\ & y=-\dfrac{5}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3};-\dfrac{5}{9} \right),\left( -\dfrac{2\sqrt{2}}{3};-\dfrac{5}{9} \right) \right\}$

Chú ý: ở bài toán trên chỉ có $(x-1)^2$ cần thay bởi ẩn u, còn ẩn y có thể thay bởi $y=v$ hoặc không (giữ nguyên là y).