Giải bài 89 trang 111 - SGK Toán 8 Tập 1

a) Ta có $MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$)
$BD = DA$ (vì $D$ là trung điểm của $AB$)
$\Rightarrow MD$ là đường trung bình của $ΔABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow MD // AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Lại có: $AC \,\bot \,AB$ (giả thiết)
$\Rightarrow MD\, \bot \,AB$ (định lí từ vuông góc đến song song)
Hay $MD \,\bot\, ME$ tại $D$
Lại có $DE = DM$ (vì $D$ là trung điểm của $ME$)
$\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $ME$ (tính chất đường trung trực)
Hay $E$ đối xứng với $M$ qua $AB$
b) Ta có: $EM // AC$ (do $MD // AC$)
$EM = AC$ (cùng bằng $2DM$)
Nên $AEBM$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Lại có: $AB\, \bot \,EM$
$\Rightarrow AEBM$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: $BC = 4cm \Rightarrow BM = 2cm$ (tính chất trung tuyến)
Chu vi hình thoi $AEBM$ bằng:  $4.BM = 4.2 = 8 \,(cm)$
d) Cách 1:
Hình thoi $AEBM$ là hình vuông $\Leftrightarrow AB = EM \Leftrightarrow AB = AC$
Vậy nếu tam giác vuông $ABC$ có thêm điều kiện $AB = AC$ (tức là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$) thì $AEBM$ là hình vuông.
Cách 2: 
Hình thoi $AEBM$ là hình vuông 
$\Leftrightarrow ΔABC$ có trung tuyến $AM$ là đường cao
$\Leftrightarrow ΔABC$ cân tại $A$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Vậy nếu $ΔABC$ vuông có thêm điều kiện cân thì $AEBM$ là hình vuông. 

Lưu ý: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.