Giải bài 59 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB, \,CD$ cắt $AD, \,BC$ lần lượt tại $E,\, F.$
Ta có: $OE // DC$ (giả thiết)
$\Rightarrow \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC} \,\, (1)$  (hệ quả của định lí Ta - lét)
$OF // DC$ (giả thiết)
$\Rightarrow \dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BO}{BD} \,\, (2)$  (hệ quả của định lí Ta - lét)

$AB // DC$ (giả thiết)

$\Rightarrow \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$   (hệ quả của định lí Ta - lét)

$\Rightarrow \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OA + OC}{OB + OD} = \dfrac{AC}{BD}$

$\Rightarrow \dfrac{OA}{AC} = \dfrac{OB}{BD} \,\,\,(3)$

Từ $(1),\,(2)$ và $(3)$ ta có:

$\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC} \Rightarrow OE = OF$

Ta có: $AB//EF$ (giả thiết) áp dụng hệ quả của định lí Ta-Let ta có:

$\dfrac{AN}{EO} = \dfrac{KN}{KO}; \,\, \dfrac{BN}{FO} = \dfrac{KM}{KO}$

$\Rightarrow \dfrac{AN}{EO} = \dfrac{BN}{FO}$

$\Rightarrow AN = BN$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AB$

Tương tự ta có: $EF // DC$ (giả thiết)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

$\dfrac{EO}{DM} = \dfrac{KO}{KM}$

$\dfrac{FO}{CM} = \dfrac{KO}{KM}$

$\Rightarrow \dfrac{EO}{DM} = \dfrac{FO}{CM}$

$\Rightarrow DM = CM$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $CD$

Vậy $OK$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD.$