Giải bài 58 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2

a) Xét hai tam giác vuông $BKC$ và $CHB$ có:
$\widehat{KBC} = \widehat{HCB }$   ($∆ABC$ cân tại $A$)
$BC$ là cạnh chung (giả thiết)
$\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BK = CH$ (2 cạnh tương ứng)
b) Ta có : $AK = AB - BK,\, AH = AC - HC$ (giả thiết) 
Mà $AB = AC$ ($∆ABC$ cân tại $A$)
$BK = CH$ (cmt) $\Rightarrow AK = AH$
Do đó: $\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AH}{AC}$
$\Rightarrow KH // BC$ (định lí Ta-lét đảo)
c) $BH$ cắt $CK$ tại $M \Rightarrow M$ là trực tâm của $∆ABC$ (định nghĩa trực tâm)
$\Rightarrow AM ⊥ BC$ tại $I$ (tính chất trực tâm)
Xét $∆AIC$ và $∆BHC$ có:
$\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o$
$\widehat{C}$ chung
$\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC$ (g - g)
$\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}$