Giải bài 70 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M,$ trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = CN.$
a) Chứng minh rằng tam giác $AMN$ là tam giác cân
b) Kẻ $BH ⊥ AM,$ kẻ $CK ⊥ AN.$ Chứng minh rằng $BH = CK$
c) Chứng minh rằng $AH = AK$
d) Gọi $O$ là giao điểm của $HB$ và $KC.$ Tam giác $OBC$ là tam giác gì ? Vì sao
e) Khi $\widehat{BAC} = 60^o$ và $BM = CN = BC$ hãy tính số đo các góc của tam giác $AMN$ và xác định dạng của tam giác $OBC.$

Hướng dẫn:

c) Tính số đo các góc của tam giác $OBC$ rồi xác định dạng của tam giác $OBC$

Bài giải:

a) $ΔABC$ cân tại $A$  (giả thiết)
$\Rightarrow AB = AC$ và $\widehat{B_1} = \widehat{C_1}$
Mà
$\widehat{B_1} + \widehat{ABM} =180^o$ (hai góc kề bù)
Suy ra
$\begin{align*} \widehat{ABM} &= 180^o - \widehat{B_1} \\&= 180^o - \widehat{C_1}\\&= \widehat{ACN}\end{align*}$
Xét $ΔBAM$ và $ΔCNA$ có:
    $BA = CA$ (giả thiết)
   $\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$ (chứng minh trên)
    $BM = CN$ (giả thiết)
$\Rightarrow ΔBAM = ΔCAN$ (c.g.c)
$\Rightarrow AM = AN$ (cặp cạnh tương ứng)
$ΔAMN$ có: $AM = AN$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔAMN$ cân tại $A$ (tính chất tam giác cân)
 b)  $ΔAMN$ cân tại $A$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N}$ (định nghĩa tam giác cân)
Xét hai tam giác vuông $HMB$ và $KNC$ có:
$BM = CN$ (giả thiết)
$\widehat{M} = \widehat{N}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔHMB = ΔKNC$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BH = CK; BH = CK$ (cặp cạnh tương ứng)
c) Ta có: $AH = AM - HM$
               $AK = AN - KN$
    Mà     $AM = AN$ (chứng minh trên)
              $BH = CK$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow AH = AK$ (đpcm)
d) $ΔHMB = ΔKNC$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN}$ (cặp góc tương ứng)
 Lại có: $\widehat{HBM} = \widehat{CBO}$  (đối đỉnh)
            $\widehat{KCN} = \widehat{BCO}$  (đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{CBO} = \widehat{BCO}$  
 Xét  $ΔOBC,$ ta có:  $\widehat{CBO} = \widehat{BCO}$   (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔOBC$ cân tại $O$
 e) Khi $\widehat{BAC} = 60^o \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{C_1} = 60^o$
$\Rightarrow ΔABC$ đều
$\Rightarrow AB = AB = BC$ (tính chất)
Lại có: $BM = CN = BC$ (giả thiết)
$\Rightarrow AB = BM$
$\Rightarrow ΔABM$ cân tại $B.$
$\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM}$ (định nghĩa)
 Lại có:  $\widehat{M} + \widehat{BAM} = \widehat{B_1} = 60^o$ (tính chất góc ngoài tam giác)
$\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o$
 Tương tự, ta có: $\widehat{N} = 30^o$
 $\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN} = 60^o$

$\Rightarrow \widehat{OBC} = \widehat{BOC} = 60^o$
$\Rightarrow ΔOBC$ đều