Giải bài 67 trang 87 - SGK Toán lớp 7 Tập 2

a) Vẽ $PB ⊥ MR$
Vậy tam giác $MPQ$ và $RPQ$ có chung đường cao $PB$
Vì $Q$ là trọng tâm của $ΔMNP$ nên $MQ = 2QR$
Ta có: $S_{ΔMPQ }= \dfrac{1}{2}.MQ.PB = \dfrac{1}{2}.2.QR.PB = QR.PB$
Và $S_{ΔRPQ} = \dfrac{1}{2}.QR.PB$
Vậy $\dfrac{S_{ΔMPQ}}{S_{ΔRPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2.$
b) Vẽ $NA ⊥ MR$
Vậy $NA$ là đường cao của $ΔMNQ$ đồng thời là đường cao của $ΔRNQ.$
Vì $Q$ là trọng tâm của $ΔMNP$ nên $MQ = 2QR$
Ta có: $S_{ΔMNQ} = \dfrac{1}{2}.MQ.NA = \dfrac{1}{2}.2QR.NA = QR.NA$
Và $S_{ΔRNQ} = \dfrac{1}{2}.QR.NA$
Vậy $\dfrac{S_{ΔMNQ}}{S_{ΔRNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2.$
c) Xét hai tam giác vuông $ANR$ và $BPR,$ ta có:
$RN = RP$ (giả thiết)
$\widehat{NRA} = \widehat{PRB}$  (đối đỉnh)
$\Rightarrow ΔANR = ΔBPR$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow NA = PB$ (cặp cạnh tương ứng)
Ta có: $S_{ΔRPQ} = \dfrac{1}{2}.QR.PB = \dfrac{1}{2}.QR.NA = S_{ΔRNQ}$
Vậy $S_{ΔRPQ} = S_{ΔRNQ}$