Giải bài 3 trang 62 – Bài 11 – SGK môn Vật lý lớp 11

Mạch ngoài bao gồm điện trở $R$ và điện trở $x$ mắc nối tiếp nhau. 

Điện trở tương đương của mạch ngoài là: $R_N=R+x$

a) Công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là: 

${{P}_{N}}={{I}^{2}}.{{R}_{N}}={{\left( \dfrac{E}{{{R}_{N}}+r} \right)}^{2}}.{{R}_{N}}=\dfrac{144}{{{\left( {{R}_{N}}+r \right)}^{2}}}.{{R}_{N}}$

$=\dfrac{144.{{R}_{N}}}{R_{N}^{2}+2,2.{{R}_{N}}+1,21}=\dfrac{144}{{{R}_{N}}+2,2+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}}$

Để công suất mạch ngoài cực đại $\left(P_{max}\right)$ thì mẫu số của biểu thức trên phải đạt cực tiểu, tức:

${R}_{N}+2,2+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}$ đạt min

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $R_N$ và $\dfrac{1,21}{{R}_{N}}$ ta được:

${{R}_{N}}+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}\ge 2.\sqrt{{{R}_{N}}.\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}}=2,2$

Dấu $"="$ xảy ra khi:${R}_{N}=\dfrac{1,21}{{R}_{N}}$ $\Leftrightarrow R_N=\sqrt{1,21}=1,1$

Suy ra: $x=1,1-R=1,1-0,1=1\left(\Omega\right)$

Vậy để công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là lớn nhất  thì điện trở $x$ có giá trị là $x=1\Omega$

b) Công suất tiêu thụ của điện trở $x$ là: 

$P={{I}^{2}}.x={{\left( \dfrac{ℰ}{{{R}_{N}}+r} \right)}^{2}}.x=\dfrac{{{ℰ}^{2}}.x}{{{\left( R+x+r \right)}^{2}}}$

$=\dfrac{144.{x}}{x^{2}+2,4.{x}+1,44}=\dfrac{144}{{x}+2,4+\dfrac{1,44}{{x}}}$

Để công suất mạch  tiêu thụ của điện trở $x$ cực đại $\left(P_{xmax}\right)$ thì mẫu số của biểu thức trên phải đạt cực tiểu, tức:

$x+2,4+\dfrac{1,44}{{x}}$ đạt min

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\dfrac{1,44}{{x}}$ ta được:

${x}+\dfrac{1,44}{{x}}\ge 2.\sqrt{{x}.\dfrac{1,44}{{x}}}=2,4$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x= \dfrac{1,44}{{x}}$$\Leftrightarrow x=\sqrt{1,44}=1,2\left(\Omega\right)$

Vậy để công suất tiêu thụ của điện trở $x$ là lớn nhất  thì điện trở $x$ có giá trị là $x=1,2\Omega$, khi đó công suất lớn nhất là: 

${P}_{xmax}=\dfrac{144}{{1,2}+2,4+\dfrac{1,44}{{1,2}}}=30(W)$

Đáp số: a) $x=1\Omega$; b) $x=1,2\Omega;P_{xmax}=30W$