Giải bài 8 trang 134 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho hai đường tròn \((O; R)\) và \((O'; r)\) tiếp xúc ngoài \((R > r)\). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn \((O),(O')\) cắt nhau tại P (A và A' thuộc đường tròn \((O')\), B và B' thuộc đường tròn \((O)\)). Biết \(PA = AB = 4 cm\). Tính diện tích hình tròn \((O')\).
Xét \(\Delta PAO'\) và \(\Delta PBO\) ta có:
\(\widehat{P}\) chung
\(\begin{aligned} & \widehat{PAO'}=\widehat{PBO}={{90}^{o}} \\ & \Rightarrow \Delta PAO'\sim \Delta PBO\,\left( g.g \right) \\ & \Rightarrow \dfrac{AO'}{BO}=\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{4+4}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow R=2r \\ & \Rightarrow OO'=r+2r=3r \\ \end{aligned}\)
Ta có: \(O'A//OB\) (cùng vuông góc với BP)
Mà \(AP=AB\) (giả thiết)
\(\Rightarrow O'A\) là đường trung bình của tam giác PBO
\(\Rightarrow OO'=O'P=3r\)
Áp dụng định lí Pytago trong \(\Delta PAO'\) ta có
\(\begin{aligned} & O'{{P}^{2}}=O'{{A}^{2}}+A{{P}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\left( 3r \right)}^{2}}={{r}^{2}}+{{4}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{r}^{2}}=2 \\ \end{aligned}\)
Diện tích hình tròn (O’) là \({{S}_{\left( O' \right)}}=\pi {{r}^{2}}=2\pi \,\left( c{{m}^{2}} \right)\)