Giải bài 41 trang 27 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn:

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

b) Đặt $\dfrac{x}{x+1}=u;\dfrac{y}{y+1}=v$

a)

$\left\{ \begin{aligned} & x\sqrt{5}-\left( 1+\sqrt{3} \right)y=1 \\ & \left( 1-\sqrt{3} \right)x+y\sqrt{5}=1 \\ \end{aligned} \right.$

Từ phương trình 1 ta có:

$x=\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}}$

Thay x trong phương trình 2 bởi $x=\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}}$  ta có:

$\begin{aligned} & \left( 1-\sqrt{3} \right).\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\sqrt{3} \right)+\left( 1-\sqrt{3} \right)\left( 1+\sqrt{3} \right)y+5y=\sqrt{5} \\ & \Leftrightarrow -2y+5y=\sqrt{5}+\sqrt{3}-1 \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3} \\ \end{aligned}$

Do đó 

$x=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\left( 1-\sqrt{3} \right)+1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3}$

Vậy $\left( \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3} \right)$ là nghiệm của hệ.

b) ĐKXĐ: $x\ne -1; y\ne -1$

Đặt $\dfrac{x}{x+1}=u;\dfrac{y}{y+1}=v$

Ta có:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 2u+v=\sqrt{2} \\ & u+3v=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & v=\sqrt{2}-2u \\ & u+3\left( \sqrt{2}-2u \right)=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & v=\sqrt{2}-2u \\ & -5u=-1-3\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & u=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & v=\sqrt{2}-2.\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & u=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & v=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Do vậy:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & \dfrac{y}{y+1}=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x=\left( x+1 \right)\left( 1+3\sqrt{2} \right) \\ & 5y=-\left( y+1 \right)\left( 2+\sqrt{2} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}} \\ & y=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy $\left( \dfrac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}};-\dfrac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}} \right)$