Giải bài 41 trang 128 – SGK Toán lớp 9 tập 1

Gợi ý:

a) Xác định hệ thức liên hệ giữa đường nối tâm với bán kính các đường tròn, từ đó suy ra vị trí tương đối. 

c) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHB, ΔAHC

d) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) và (K).

a) Ta có:

$IO = OB - IB \Rightarrow (I)$ tiếp xúc trong với $(O)$.

$OK = OC - KC \Rightarrow (K)$ tiếp xúc trong với $(O)$

$IK = OH + KH \Rightarrow (I)$ tiếp xúc ngoài với $(K)$

b) Tứ giác AEHF có $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}={{90}^{o}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AEHF là hình chữ nhật.

c) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHB, ta có:

 $AE.AB = AH^2$ (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHC, ta có

$AF.AC = AH^2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB = AF.AC$

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật $\Rightarrow AH = EF$

Ta có $GH=GF\Rightarrow ΔGFH$ cân tại G $\Rightarrow \widehat{{{F}_{1}}}=\widehat{{{H}_{1}}}.$

Tương tự, ΔKFH cân tại K $\Rightarrow \widehat{{{F}_{2}}}=\widehat{{{H}_{2}}}$.

Suy ra $\widehat{{{F}_{1}}}+\widehat{{{F}_{2}}}=\widehat{{{H}_{1}}}+\widehat{{{H}_{2}}}=\widehat{AHC}={{90}^{o}}$

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

e) Ta có: $EF = AH = \dfrac{AD}{2}.$

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.