Giải bài 40 trang 57 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn: 

a) Đặt ${{x}^{2}}+x=t$

b) Đặt ${{x}^{2}}-4x+2=t$

c) Rút gọn rồi đặt $\sqrt{x}=t\,\,\left( t\ge 0 \right)$

d) Đặt $\dfrac{x}{x+1}=t$

a)

Đặt ${{x}^{2}}+x=t$

Phương trình trở thành $3{{t}^{2}}-2t-1=0$

Có: $a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$

Phương trình có hai nghiệm $\left\{ \begin{aligned} & {{t}_{1}}=1 \\ & {{t}_{2}}=-\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.$

Với $t=1\Rightarrow {{x}^{2}}+x=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0$

Có $\Delta ={{1}^{2}}-4.\left( -1 \right)=5$

Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Với $t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}+x=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+1=0$

Có $\Delta ={{3}^{2}}-4.3.1=-3<0$

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$

b) 

Đặt ${{x}^{2}}-4x+2=t\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-4=t-6$

Phương trình trở thành

${{t}^{2}}+t-6=0$

Có $\Delta =1-4.\left( -6 \right)=25>0$

Phương trình có hai nghiệm $\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3 \\ & t=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2 \\ \end{aligned} \right.$

Với $t=-3$ ta có: ${{x}^{2}}-4x+2=-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+5=0$

Ta có: $\Delta '={{\left( -2 \right)}^{2}}-5=-1<0$

Phương trình vô nghiệm

Với $t=2$ ta có: 

$\begin{aligned} & {{x}^{2}}-4x+2=2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x=0 \\ & \Leftrightarrow x\left( x-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=4$

c) Điều kiện xác định $x\ge 0$

 $x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\Leftrightarrow x-6\sqrt{x}-7=0$

Đặt $\sqrt{x}=t\,\,\left( t\ge 0 \right)$

Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-6t-7=0$

Có $a-b+c=1-\left( -6 \right)+\left( -7 \right)=0$

Phương trình có hai nghiệm $\left[ \begin{aligned} & t=-1\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=7 \\ \end{aligned} \right.$

Với $t=7$ suy ra $\sqrt{x}=7\Rightarrow x=49$

Vậy phương trình có một nghiệm $x=49$

d) Điều kiện xác định $x\ne 0;x\ne -1$

Đặt $\dfrac{x}{x+1}=t$

Phương trình trở thành:

$\begin{aligned} & t-10.\dfrac{1}{t}=3 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-10=0 \\ \end{aligned}$

Có $\Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}+4.10=49>0$

Phương trình có hai nghiệm $\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{3+\sqrt{49}}{2}=5 \\ & t=\dfrac{3-\sqrt{49}}{2}=-2 \\ \end{aligned} \right.$
Với $t=5$ ta có

$\begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=5 \\ & \Rightarrow x=5x+5 \\ & \Leftrightarrow 4x=-5 \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{4} \\ \end{aligned}$

Với $t=-2$ ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=-2 \\ & \Leftrightarrow x=-2\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow 3x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3} \\ \end{aligned}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-\dfrac{5}{4};x=-\dfrac{2}{3}$