Giải bài 4 trang 11 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi phương trình sau đây và giải thích vì sao:
a) \(\left\{ \begin{align} & y=3-2x \\ & y=3x-1 \\ \end{align} \right. \)
b) \(\left\{ \begin{align} & y=-\dfrac 1 2 x+3 \\ & y=-\dfrac 1 2 x+1 \\ \end{align} \right. \)
c) \(\left\{ \begin{align} & 2y=-3x \\ & 3y=2x \\ \end{align} \right. \)
d) \(\left\{ \begin{align} & 3x-y=3\\ & x-\dfrac 1 3 y=1 \\ \end{align} \right. \)
Hướng dẫn:
Để xét số nghiệm của hệ phương trình ta có thể thực hiện xét vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình lần lượt là phương trình của hệ:
Xét hai đường thẳng \((d): y=ax+b\) và \((d'): y=a'x+b'\)
+) Nếu \(a=a'\) và \(b\ne b'\) thì \(d'//d\) , hệ phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(a\ne a'\) thì \(d\) cắt \(d'\), hệ phương trình có nghiệm duy nhất
+) Nếu \(a=a'\) và \(b=b'\) thì \(d\) và \(d'\) trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm.
a)
Xét hai đường thẳng
\((d):y=3-2x=-2x+3\\ (d'):y=3x-1\)
Vì \(a=-2\ne 3=a'\) nên d và d' cắt nhau
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
b)
Xét hai đường thẳng
\((d):y=-\dfrac 1 2x+3\\ (d'):y=-\dfrac 1 2 x+1\)
Vì \(a=a'=-\dfrac 1 2\) và \(b=3\ne 1=b'\) nên d và d' song song.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
c)
Xét hai đường thẳng
\((d):2y=-3x\Rightarrow y=-\dfrac 3 2 x\\ (d'):3y=2x\Rightarrow y=\dfrac 2 3 x\)
Vì \(a\ne a'\) nên d và d' cắt nhau
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
d)
Xét hai đường thẳng
\((d):3x-y=3\Rightarrow y=3x-3\\ (d'):x-\dfrac 1 3 y=1\Rightarrow y=3x-3\)
Vì \(a=a'=3\) và \(b=b'=-3\) nên d và d' trùng nhau
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm