Giải bài 37 trang 94 – SGK Toán lớp 9 tập 1

a) Ta có: ${{6}^{2}}+4,{{5}^{2}}=36+20,25=56,25=7,{{5}^{2}}$
Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lí Pytago đảo)
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có
$\left\{ \begin{align} & \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4,5}{7,5}=\dfrac{3}{5} \\ & \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{7,5}=\dfrac{4}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & \widehat{B}\approx {{36}^{o}}52' \\ & \widehat{C}\approx {{53}^{o}}8' \\ \end{aligned} \right.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$\begin{align} & \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{6}^{2}}}+\dfrac{1}{4,{{5}^{2}}}=\dfrac{25}{324} \\ & \Rightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{324}{25}\Rightarrow AH=3,6\,\left( cm \right) \\ \end{align}$
b) Lấy điểm M bất kì, kẻ $MK\bot BC$
Diện tích tam giác MBC là: ${{S}_{\Delta MBC}}=\dfrac{1}{2}MK.BC$
Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC$
Để diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC thì $MK=AH=3,6cm$ hay M cách BC một khoảng không đổi bằng AH.
Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng $3,6cm.$

Kiến thức cần nhớ:

Định lý Pytago đảo, công thức tính diện tích tam giác,hệ thức lượng trong tam giác vuông,tỉ số lượng giác của góc nhọn