Giải bài 31 trang 19 – SGK Toán lớp 9 tập 1
a) So sánh \(\sqrt{25-16}\) và \(\sqrt{25}-\sqrt{16} \);
b) Chứng minh rằng với \(a>b>0\) thì \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b} \).
a) Ta có: \(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3, \sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)
Vì \(3>1\) nên \(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
b) Với \(a>b>0\Rightarrow a-b>0 \), ta có:
\(\begin{aligned} & \sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\,\left( 1 \right) \\ & \Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}+\sqrt{a-b}\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned}\)
Để chứng minh (1), ta đi chứng minh điều tương đương (2) sẽ dễ dàng hơn.
Ta có:
\(\begin{aligned} & \begin{aligned} {{\left( \sqrt{a-b}+\sqrt{b} \right)}^{2}}&=\sqrt{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+2\sqrt{b\left( a-b \right)}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ & =\left| a-b \right|+2\sqrt{b\left( a-b \right)}+\left| b \right| \\ & =a+2\sqrt{b\left( a-b \right)}>a={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}\,\left( \text{đpcm} \right) \\ \end{aligned} \)
Ghi nhớ:
Khi chứng minh bất đẳng thức chứa căn, ta có thể chứng minh bất đẳng thức tương đương: Bình phương hai vế bất đẳng thức