Giải bài 15 trang 135 – SGK Toán lớp 9 tập 2

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CBD}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\overset\frown{BC}$)

$\widehat{D}$ chung

$\Rightarrow \Delta ADB\sim \Delta BDC\,\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AD}{BD}$ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow B{{D}^{2}}=AD.CD$

b) Ta có $\left\{ \begin{aligned} & \widehat{ADB}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{BC}}{2} \\ & \widehat{AEC}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AC}-\text{sđ}\overset\frown{BC}}{2} \\ \end{aligned} \right.$ (định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

Mà $AB=AC\Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$ (định lí quan hệ giữa dây và cung)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEC}$

Suy ra các điểm B và E cùng nhìn BC dưới một góc không đổi

Suy ra tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

c) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ($ΔABC$ cân tại A) (1)

Vì tứ giác BCDE nội tiếp ta có:

$\widehat{ABC}=\widehat{CDE}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện) (2)

Từ (1)và (2) ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{CDE}$

$⇒ BC//DE$ (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)