Giải bài 9 trang 132 – SGK Toán lớp 8 tập 2

+) Chứng minh $\widehat{ABD} = \widehat{ACB} \Rightarrow AB^2 = AC.AD$

 Xét ∆ABD và ∆ACB có:

$\widehat{A}$ chung 

$\widehat{ABD} = \widehat{ACB}$ (giả thiết)

$\Rightarrow ΔABD \backsim ΔACB \, \text{ (g.g)} \\ \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB} \, \text{ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)} \\ \Rightarrow AB^2 = AC.AD$

+) Chứng minh $AB^2 = AC.AD \Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACB}$

Ta có: $AB^2 = AC.AD \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung 

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ΔABD \backsim ΔACB \, \text{ (c.g.c)}$

$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACB}$ (cặp góc tương ứng)

Vậy $\widehat{ABD} = \widehat{ACB} \Leftrightarrow AB^2 = AC.AD$

Ghi nhớ:

Với các bài toán chứng minh biểu thức dạng $AB^2=AC.AD$ hoặc $AB.AM=AC.AN$ ta thường chứng minh qua các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng.