Giải bài 85 trang 109 - SGK Toán lớp 8 tập 1

a) Xét tứ giác $ADFE$ có:
$AE // DF,\,AE = DF$ (giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác $ADEF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành $ADFE$ có: 
$\widehat{A} = 90^o \Rightarrow ADFE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Theo giả thiết $AB = 2AD$ và $AE = \dfrac{AB}{2}$ nên $AE = AD = \dfrac{AB}{2}$
Hình chữ nhật $ADFE$ có $AE = AD$ nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác $DEBF$ có:
$EB // DF,\,EB = DF$ (giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác $DEBF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
$\Rightarrow DE // BF$ (tính chất hình bình hành)
Xét tứ giác $AECF$ có:
$EA // CF,\,EA = CF$ (giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác $AECF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
$\Rightarrow AF // EC$ (tính chất hình bình hành)
Xét tứ giác $EMFN$ có:
$DE // BF,\,AF = EC$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Theo câu a, $ADFE$ là hình vuông nên $ME = MF,\,ME \bot MF$ (tính chất hình vuông)
Hình bình hành $EMFN$ có $\widehat{M} = 90^o \Rightarrow ADFE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Lại có $ME = MF$ nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

Lưu ý: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.