Giải bài 82 trang 33 – SGK Toán lớp 8 tập 1

Hướng dẫn:

Biến đổi các biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng rồi áp dụng: $A^2 \geq 0$ với mọi $A$

Bài giải
a) Ta có: 
$x^2 - 2xy + y^2 + 1$
$= (x^2 - 2xy + y^2) + 1$
$= (x - y)^2 + 1$
Mà $(x - y)^2 \geq 0$ với mọi $x, \, y$
Suy ra $(x - y)^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x, \, y$
Vậy $x^2 - 2xy + y^2 + 1 > 0$ với mọi số thực $x$ và $y$ (đpcm)
b) Ta có:
$x - x^2 - 1$
$= - (x^2 - x + 1)$
$= -[x^2 - 2.x.\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}]$
$= - [ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 +\dfrac{3}{4} ]$
$= - \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 -\dfrac{3}{4}$
Mà $-\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \leq 0$ với mọi $x$
$\Rightarrow -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{3}{4} \leq -\dfrac{3}{4} < 0$ với mọi $x$
Vậy $x - x^2 - 1 < 0$ với mọi $x$ (đpcm)