Giải bài 75 trang 106 – SGK Toán lớp 8 tập 1

Giả sử hình chữ nhật $ABCD$ có $E,\,F,\, G,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,BC,\,CD,\,DA$

Bốn tam giác vuông $EAH,\, EBF,\, GDH,\, GCF$ có:
$AE = BE = DG = CG = \,\,\left( \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD \right)\\ HA = FB = DH = CF \,\,\left( \dfrac{1}{2}AD= \dfrac{1}{2}BC \right)$
Xét $ΔEAH$ và $ΔEBF$ có:
$AE = BE$ (chứng minh trên)
$\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o$ (giả thiết)
$AH = BF$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔAHE = ΔBEF$ (cạnh - góc -cạnh)
$\Rightarrow EH = EF$ (hai cạnh tương ứng)  $(1)$
Xét $ΔADG$ và $ΔFCG$ có:
$HD = FC$ (chứng minh trên)
$\widehat{D} = \widehat{C} = 90^o$ (giả thiết)
$DG = CG$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔHDG = ΔFCG$ (cạnh - góc -cạnh)
$\Rightarrow GH = GF$ ($2$ cạnh tương ứng) $(2)$
Xét $ΔAHE$ và $ΔDHG$ có:
$HA = HD$ (chứng minh trên)
$\widehat{A} = \widehat{D} = 90^o$  (giả thiết)
$AE = DG$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔAHE = ΔDHG$ (cạnh - góc -cạnh)
$\Rightarrow EH = HG$ ($2$ cạnh tương ứng) $(3)$
Từ $(1),\, (2)$ và $(3) \Rightarrow HE = EF = HG = GF$
$\Rightarrow EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)