Giải bài 71 trang 103 - SGK Toán lớp 8 tập 1

a) Tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{DAE} = \widehat{ADE} = \widehat{AEM} = 90^o$ (giả thiết)

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

$O$ là trung điểm của đường chéo $DE$ (giả thiết)

$\Rightarrow O$ cũng là trung điểm của đường chéo $AM$ (tính chất hình chữ nhật)

Vậy $A,\, O,\, M$ thẳng hàng.

b) Kẻ $AH \bot BC$

Cách 1:

Vì $O$ là trung điểm của $AM$ nên $HO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$

$\Rightarrow OA = OH$

$\Rightarrow$ Điểm $O$ di chuyển trên đường trung trực của $AH.$

Mặt khác vì $M$ di chuyển trân đoạn $BC.$ Vậy điểm $O$ di chuyển trên đoạn thẳng $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$

Cách 2: Kẻ $OK \bot BC.$

Ta có: $OA = OM$ (chứng minh trên)

$OK // AH$ (vì cùng vuông góc với $BC$)

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $MH$

Lại có: $O$ là trung điểm của $AM$

$\Rightarrow OK$ là đường trung bình của tam giác $AMH$

$\Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}AH$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Điểm $O$ cách đoạn $BC$ cố định một khoảng không đổi bằng $\dfrac{1}{2}AH.$

Mặt khác khi $M$ trùng $C$ thì $O$ chính là trung điểm của $AC,$ khi $M$ trùng $B$ thì $O$ chính là trung điểm của $AB$

Vậy $O$ di chuyển trên đoạn thẳng $PQ$ là đường trung bình của $ΔABC.$

c) Ta có $AH$ là đường cao hạ từ $A$ đến $BC$

Do đó $AM \geq AH$ (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Vậy $AM$ nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H.$

Lưu ý: 

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.