Giải bài 57 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2

+ Nhận xét: $D$ luôn nằm giữa $H$ và $M$
+ Chứng minh: $AD$ là đường phân giác của $∆ABC.$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DC}$  (tính chất đường phân giác của tam giác)

Mà $AB < AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow DB < DC \Rightarrow DB + DC < DC + DC$

$\Rightarrow BD + DC < 2DC$ hay $BC < 2DC$

$\Rightarrow DC > \dfrac{BC}{2}$

Mà $MC = \dfrac{BC}{2}$  ($M$ là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow DC > MC$

$\Rightarrow M$ nằm giữa $D$ và $C \,\,\,\, (1)$

Mặt khác $\widehat{CAH} = 90^o - \widehat{C}$   ($∆CAH$ vuông tại $H$)

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o$ (tổng $3$ góc $∆ABC$)

$\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}}{2} - \widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B} }{2}+ \dfrac{\widehat{C} }{2}-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B} }{2}- \dfrac{\widehat{C} }{2} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B }- \widehat{C} }{2}$

Vì $AB < AC \Rightarrow \widehat{C } < \widehat{B } \Rightarrow \widehat{B } - \widehat{C } > 0$

Do đó: $\widehat{CAH } > \dfrac{\widehat{A }}{2}$

Hay $\widehat{CAH} > \widehat{CAD }$

$\Rightarrow$ Tia $AD$ nằm giữa hai tia $AH$ và $AC$

$\Rightarrow D$ nằm giữa hai điểm $H$ và $C \,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow D$ nằm giữa $H$ và $M.$