Giải bài 49 trang 32 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Gọi $x \,(cm)$ là cạnh $AC \,(x > 0).$
Gọi hình chữ nhật là $MNPA$ thì $MC = x - 2 \,(cm)$
$\triangle{ABC}$ có: $MN // AB$
$\Rightarrow \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{MC}{AC}$ (hệ quả Ta-lét)
$\Rightarrow MN = \dfrac{AB.MC}{AC} = \dfrac{3(x - 2)}{x}$
Diện tích hình chữ nhật:
$2.\dfrac{3.(x - 2)}{x} = \dfrac{6(x - 2)}{x}$
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$\dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.x = \dfrac{3}{2}x$
Vì diện tích hình chữ nhật bằng một nửa diện tích hình tam giác nên:
$\dfrac{3}{2}x = 2.\dfrac{6(x - 2)}{x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x}{2} = \dfrac{12(x - 2)}{x}$
$\Leftrightarrow 3x^2 = 24(x - 2)$
$\Leftrightarrow 3x^2 = 24x - 48$
$\Leftrightarrow 3x^2 - 24x + 48 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - 8x + 16 = 0$
$\Leftrightarrow (x - 4)^2 = 0$
$\Leftrightarrow x - 4 = 0$
$\Leftrightarrow x = 4$  (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $AC = 4cm$

Ghi nhớ: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số:
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mỗi liên hệ giữa chúng
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.