Giải bài 4 trang 132 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Ta có: $M, \, N$ lần lượt là trung điểm  $AB, \, CD$ (giả thiết)
$\Rightarrow AB = 2MB,\, DC = 2DN$ (tính chất trung điểm)
Mà $AB = DC$ (tính chất hình bình hành)
$\Rightarrow MB = DN$
Mà $MB // DN$ (giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác $MBND$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Tương tự ta có $AMND,\, MBCN$ là hình bình hành.
$\Rightarrow E$ là trung điểm của $DM,\, K$ là trung điểm của $CM \,\,(1)$ (tính chất hình bình hành)
$\Rightarrow EM = NK$
Mà $EM // NK$ (do $DM // BN$)
$\Rightarrow EMKN$ là hình bình hành.
a) Để $MENK$ là hình thoi thì hình bình hành $MENK$ phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là $MN \bot EK.$
$\Rightarrow BC \bot CD.$
Vậy $ABCD$ phải là hình chữ nhật.
b) Để $MENK$ là hình chữ nhật thì hình bình hành $MENK$ phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là $MN = EK.$
Mà $MN = BC, \, EK = \dfrac{1}{2}CD$
$\Rightarrow BC = \dfrac{1}{2}CD$
c) Để $MENK$ là hình vuông thì $MENK$ phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành $ABCD$ phải là hình chữ nhật có:
$BC = \dfrac{1}{2}DC$

Ghi nhớ:

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật