Giải bài 3 trang 131 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Tam giác ABC có các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:
a) Hình thoi?
b) Hình chữ nhật?
Ta có:
CE⊥AB (giả thiết)
KB⊥AB (giả thiết)
Suy ra BK//CH(1) (tính chất từ vuông góc đến song song)
Tương tự ta chứng minh được: BH//KC(2)
Từ (1) và (2) ta được :
Tứ giác BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.
a) BHCK là hình thoi khi và chỉ khi HM⊥BC (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Vì HA⊥BC nên HM⊥BC⇔A,H,M thẳng hàng. Tam giác ABC cân tại A.
b) BHCK là hình chữ nhật ⇔BH⊥HC.
Ta lại có BE⊥HC,CD⊥BH nên BH⊥HC⇔H,D,E trùng nhau. Khi đó H,D,E cũng trùng với A.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A.
Ghi nhớ:
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
