Giải bài 3 trang 115 – SGK Toán lớp 8 tập 1

Hướng dẫn:

Bước 1: Chứng minh $EB = BF = GD = DH = EH = FG$

Bước 2: Chứng minh $\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = \widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE}$

Bài giải
$ABCD$ là hình thoi (giả thiết)
$\Rightarrow AB = BC = CD = DA$ (tính chất)
Mà $E,\, F,\, G,\, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\, BC,\, CD,\, DA$
$\Rightarrow EB = BF = GD = DH = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (1)$
Xét $\triangle{ABD}$ có:
$AB = AD$ (chứng minh trên)
$\widehat{A} = 60^o$ (giả thiết)
$\Rightarrow \triangle{ABD}$ đều
$\Rightarrow AB = BD = DA \,\,\,\,\, (2)$
Lại có: $E,\, H$ lần lượt là trung điểm của $AB, \, AD$ (giả thiết)
$\Rightarrow EH$ là đường trung bình của $\triangle{ABD}$
$\Rightarrow EH = \dfrac{BD}{2}$
Tương tự ta chứng minh được: $FG = \dfrac{BD}{2}$
$\Rightarrow EH = FG = \dfrac{BD}{2} \,\,\,\,\,(3)$
Từ $(2)$ và $(3) \Rightarrow EH = FG = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (4)$
Từ $(1)$ và $(4) \Rightarrow EB = BF = GD = DH = EH = FG \,\,\,\, (*)$
Tương tự ta chứng minh được: $\triangle{CBD},\, \triangle{AEH},\, \triangle{CFG}$ là các tam giác đều nên:
$\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = 120^o$
$\widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE} = 120^o$ (các góc ngoài của hai tam giác đều $AEH$ và $FGC$)
Vậy đa giác $EBFGDH$ có 6 góc bằng nhau   $(**)$
Từ $(*)$ và $(**) \Rightarrow EBFGDH$ là lục giác đều (đpcm)