Giải bài 2 trang 131 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Hướng dẫn

Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác và định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền

Tam giác $ABO$ đều (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{OAB} = \widehat{ABO} = 60^o$ (tính chất tam giác đều)
$AB // CD$ (giả thiết)
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \widehat{ODC} = \widehat{ABO} = 60^o \,\, \text{(so le trong)} \\ \widehat{OCD} = \widehat{OAB} = 60^o \,\, \text{(so le trong)} \end{array} \right.$
Lại có: $\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 60^o$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{COD} = \widehat{OCD} = \widehat{ODC}= 60^o$
$\Rightarrow ΔCDO$ đều 
$\Rightarrow OD = OC$ (tính chất tam giác đều)
Xét $∆AOD$ và $∆BOC$ có:
$AO = BO$ ($∆ABO$ đều)
$\widehat{AOD} = \widehat{BOC}$ (đối đỉnh)
$OD = OC$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ∆AOD = ∆BOC \,\,(c.g.c)$
$\Rightarrow AD = BC$ ($2$ cạnh tương ứng)
Ta có: $E,\, F$ là trung điểm của $AO$ và $DO$ (giả thiết)
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của tam giác $AOD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EF = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC \,\, (1)$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
$CF$ là đường trung tuyến của tam giác đều $CDO$ nên $CF \bot DO$ (tính chất tam giác đều)
Trong tam giác vuông $CFB, \,FG$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
$FG = \dfrac{1}{2}BC \,\, (2)$
Chứng minh tương tự ta có:
$EG = \dfrac{1}{2}BC \,\, (3)$
Từ $(1),\, (2),\, (3) \Rightarrow EF = GF = EG$ nên $ΔEFG$ là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)