Giải bài 18 trang 75 – SGK Toán lớp 8 tập 1

a) Ta có: $AB // CD$ (giả thiết)
$\Rightarrow AB // DE$ (vì $E \in CD$)
Lại có $AC // BE$ (giả thiết)
$\Rightarrow AC = BE$ (tính chất đoạn chắn)
Mà $AC = BD$ (giả thiết)
$\Rightarrow BD = BE$
Xét $\triangle{BDE}$ có: $BD = BE$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \triangle{BDE}$ cân tại $B$ (tính chất)
b) $\triangle{BDE}$ cân tại $B$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{D_1} = \widehat{E}$ (định nghĩa)   $(1)$
Lại có: $AC // BE$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{C_1} = \widehat{E}$  (cặp góc so le trong)   $(2)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \widehat{C_1} = \widehat{D_1}$
Xét $ΔACD$ và $ΔBDC$ có:
$AC = BD$ (giả thiết)
$\widehat{C_1} = \widehat{D_1}$ (chứng minh trên)
$DC:$ cạnh chung
$\Rightarrow ΔACD = ΔBDC \,\,(c.g.c)$
c) $ΔACD = ΔBDC$  (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (cặp góc tương ứng)
Xét hình thang $ABCD$ có: $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ABCD$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.