Giải bài 5 trang 8 - SGK Toán lớp 7 Tập 1

Ta có: $x =$$<span\; class="math-tex">\$\backslash dfrac\{a\}\{m\}\$</span>; <span\; class="math-tex">\$y\; =\; \backslash dfrac\{b\}\{m\}\$</span>$ (với $a, b, m$$\in \mathrm{\mathbb{Z}}, <span\; class="math-tex">\$m\; >\; 0\$</span>$) và $x < y$

Do đó $a < b ⇒ a.m < b.m$

+ Ta chứng minh $x < z$ hay $​​\dfrac{a}{m} < ​​\dfrac{a + b}{2m}$

Ta có:   $a.m < b.m$

$\Rightarrow <span\; class="math-tex">\$a.m\; +\; a.m\; <\; b.m\; +\; a.m\$</span>$ ( cộng hai vế với $a.m$)

$\Rightarrow <span\; class="math-tex">\$2am\; <\; (a\; +\; b)m\$</span>\Rightarrow <span\; class="math-tex">\$a\; <\; \backslash dfrac\{(a\; +\; b)m\}\{2m\}\$</span> <span\; class="math-tex">\$\Rightarrow \$</span> <span\; class="math-tex">\$\backslash dfrac\{a\}\{m\}\; <\; \backslash dfrac\{a\; +\; b\}\{2m\}\$</span>(chia hai vế cho <span\; class="math-tex">\$m\; >\; 0\$</span>)$

Vậy $x < z$$\left(1\right)$

+ Ta chứng minh $z < y$$$ hay $\dfrac{a + b}{2m} < \dfrac{b}{m}$

Ta có: $a.m < b.m$

$\Rightarrow <span\; class="math-tex">\$a.m\; +\; b.m\; <\; b.m\; +\; b.m\$</span> (cộng\; hai\; vế\; với <span\; class="math-tex">\$b.m\$</span>)$

$⇒ (a + b ).m < 2.b.m$

$⇒ a + b < 2b$ (chia hai vế cho $m$ )

$⇒ \dfrac{a+ b}{2m} < \dfrac{2b}{2m} = \dfrac{b}{m}$ (chia cả hai vế cho $2m$)

Hay $z < y$      (2)

Từ $\left(1\right) và \left(2\right)$ suy ra: $x < z < y.$

Nhận xét: Từ kết quả trên ta rút ra kết luận: Trên trục số, giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kì bao giờ cũng có ít nhất một điểm hữu tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ. Ta bảo tập hợp $\mathrm{\mathbb{Q}}$ là tập trù mật.