Giải bài 6 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12

Hướng dẫn: 

Dựng hình lăng trụ tam giác từ 4 điểm ABCD. Chứng minh thể tích lăng trụ không đổi suy ra thể tích khối tứ diện không đổi.

Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d'.

Do d, d' không đổi nên h không đổi.

Qua A, B, C dựng hình bình hành ABFC. Qua A, C, D dựng hình bình hành ACDE. Khi đó ABE.CFD là một hình lăng trụ tam giác.

Vì $AE//CD\Rightarrow \widehat{\left( AB;\,CD \right)}=\widehat{\left( AB;\,AE \right)}=\widehat{BAE}=\alpha$

Do d và d' không đổi nên $\alpha$ không đổi.

Do ACDE là hình bình hành nên $AE=CD=b$.

Ta có

$\begin{align} {{V}_{B.ACD}}&={{V}_{B.CDF}}={{V}_{B.ADE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABE.CFD}} \\ & =\dfrac{1}{3}h.{{S}_{ABE}}=\dfrac{1}{3}h.\dfrac{1}{2}.AB.AE.\sin \widehat{BAE} \\ & =\dfrac{1}{6}h.ab.sin\alpha \\ \end{align}$

Do h, a, b, $\alpha$ không đổi nên thể tích khối tứ diện ABCD không đổi.